如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求证：AF∥平面BCE；（3）求四棱锥C-ABED的体积．

Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．
（1）求证：AF⊥平面CDE；
（2）求证：AF∥平面BCE；
（3）求四棱锥C-ABED的体积．

Answer 1

（1）证明：∵F为等边三角形CD边上的中点，
∴AF⊥CD，
∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，
∴AF⊥DE，
又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．
（2）证明：取CE的中点G，连FG、BG．∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF=(1)/(2)DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=(1)/(2)DE，∴GF=AB．
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．
（3）取AD中点M，连接CM，
∵△ACD为等边三角形，则CM⊥AD，
∵DE⊥平面ACD，且DE⊂平面ABED，
∴平面ACD⊥平面ABED，
又平面ACD∩平面ABED=AD，∴CM⊥平面ABED，
∴CM为四棱锥C-ADEB的高，
∴V=(1)/(3)CM•S_ABED=(1)/(3)AF•S_ABED=√(3)．