如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．（I）求证：BC1∥平面A1CD；（II）若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求证：三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱．

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．
（I）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（II）若四边形BCC₁B₁是矩形，且CD⊥DA₁，求证：三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．

Answer 1

（Ⅰ）连AC₁，设AC₁与A₁C相交于点O，连DO，则O为AC₁中点，
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC₁
∵BC₁⊄平面A₁CD，DO⊂平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）∵等边△ABC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB
∵CD⊥DA₁，DA₁∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB₁A₁
∵BB₁⊂平面ABB₁A₁
∴BB₁⊥CD，
∵矩形BCC₁B₁
∴BB₁⊥BC
∵BC∩CD=C∴BB₁⊥平面ABC
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．