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如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．（I）求证：BC1∥平面A1CD；（II）若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求证：三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱．
题目详情
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．
（I）求证：BC1∥平面A1CD；
（II）若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求证：三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱．
（I）求证：BC1∥平面A1CD；
（II）若四边形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求证：三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱．
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）连AC1，设AC1与A1C相交于点O，连DO，则O为AC1中点，
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC1
∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）∵等边△ABC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB
∵CD⊥DA1，DA1∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB1A1
∵BB1⊂平面ABB1A1
∴BB1⊥CD，
∵矩形BCC1B1
∴BB1⊥BC
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱．
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC1
∵BC1⊄平面A1CD，DO⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）∵等边△ABC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB
∵CD⊥DA1，DA1∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB1A1
∵BB1⊂平面ABB1A1
∴BB1⊥CD，
∵矩形BCC1B1
∴BB1⊥BC
∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱．
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