二重积分求解,要用极坐标,积分ln（1+x^2+y^2）dxdyD是X^2+y^2

Question

二重积分求解,要用极坐标,
积分ln（1+x^2+y^2）dxdy
D是X^2+y^2

Answer 1

x=rcosθ,y=rsinθ
转化成积分ln(1+r^2)rdrdθ（积分区域为r是0到1,θ是0到π/2）
lnx的原函数为xlnx-x
结果为（2ln2-1）*π/4
dx = cosθdr - rsinθdθ
dy = sinθdr + rcosθdθ
dx∧dy = cosθsinθdr∧dr - rsinθsinθdθ∧dr + rcosθcosθdr∧dθ - r^2sinθcosθdθ∧dθ
= 0 + rsinθsinθdr∧dθ + rcosθcosθdr∧dθ + 0
= rdr∧dθ
∧为微分形式的外积