（2014•保定一模）已知极坐标系与直角坐标系长度单位相同，且以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴．设直线C1：x＝1+tcosαy＝tsinα（t为参数），曲线C2：ρ=1．（Ⅰ）当α=π3时，求曲线C1的

Question

（2014•保定一模）已知极坐标系与直角坐标系长度单位相同，且以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴．设直线C₁：

x＝1+tcosα

y＝tsinα

（t为参数），曲线C₂：ρ=1．
（Ⅰ）当α=(π)/(3)时，求曲线C₁的极坐标方程及极径ρ（ρ＞0）的最小值；
（Ⅱ）求曲线C₁与C₂两交点的直角坐标（用α表示）．

Answer 1

（Ⅰ）当α＝(π)/(3)时，C₁的普通方程为y＝√(3)(x−1)，
将y=ρsinθ，x=ρcosθ，代入上式得ρsinθ−√(3)ρcosθ＝−√(3)，
故C₁的极坐标方程为ρcos(θ+(π)/(6))＝(√(3))/(2)． 
∵ρ＞0，∴ρ＝((√(3))/(2))/(cos(θ+(π)/(6)))，且0＜cos(θ+(π)/(6))≤1，
∴当cos(θ+(π)/(6))＝1时，得θ+(π)/(6)＝2kπ，k∈Z，
取k=1，得θ＝(11π)/(6)时，极径ρ有最小值

作业帮用户 2017-09-29

问题解析

对第（Ⅰ）问，先将直线C₁的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，接着写出极径ρ关于θ的表达式，可得ρ的最小值；
对第（Ⅱ）问，将C₂的方程化为直角坐标方程，联立C₁的普通方程，把α看作常数，解此方程组，即得交点坐标．

名师点评

本题考点：

参数方程化成普通方程．

考点点评：

1．本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程，普通方程之间的互化．
（1）参数方程化普通方程时，关键是消参，常见消参方式有：代入法，等式两边同时平方，两式相加、减，两式相乘、除等，应注意方程在变形过程中的等价性；
（2）在进行极坐标方程与直角坐标方程之间的互化时，应掌握一些常见的构造或凑配技巧（如方程两边同时乘以ρ，方程两边同时平方等）．关键是记住并会运用公式：

(√(3))/(2)

x＝ρcosθ

y＝ρsinθ

和

ρ2＝x2+y2(或ρ＝√(x2+y2))

tanθ＝(y)/(x)(x≠0)

，一般取θ∈[0，2π），ρ的范围可根据具体情况而定．
2．在处理参数方程或极坐标方程的问题时，一般先将这些方程化为普通方程或直角坐标方程，再进行其他相关运算．

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