（2012•河南模拟）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为x＝12+tcosαy＝tsinα（t为参数，0

Question

（2012•河南模拟）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为

x＝(1)/(2)+tcosα

y＝tsinα

（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρ＝(2cosθ)/(sin2θ)，
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程：
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

（I ）由ρ＝(2cosθ)/(sin2θ)，得（ρsinθ）²=2ρcosθ，化为直角坐标方程为y²=2x．
（II）将直线l的参数方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcosα-1=0
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则
t₁+t₂=(2cosα)/(sin2α)，t₁t₂=−(1)/(sin2α)
∴|AB|=|t₁-t₂|=√((t1+t2)2−4t1t2)=√((4cos2α)/(sin4α)+(4)/(sin2α))=(2)/(sin2α)
当α＝(π)/(2)时，sin²α取得最大值1，从而|AB|的最小值为2．