曲线C1的参数方程为x=2+2cosαy=2sinα（α为参数）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程

Question

曲线C₁的参数方程为

x=2+2cosα

y=2sinα

（α为参数）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ．
（1）求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的直角坐标方程；
（2）过原点且倾斜角为α（(π)/(6)<α≤(π)/(4)）的射线l与曲线C₁，C₂分别相交于A，B两点（A，B异于原点），求|OA|•|OB|的取值范围．

Answer 1

（1）曲线C₁的参数方程为

x=2+2cosα

y=2sinα

（α为参数），普通方程为（x-2）²+y²=4，即x²+y²=4x，极坐标方程为ρ=4cosθ；曲线C₁的极坐标方程为ρcos²θ=sinθ，普通方程为：y=x²；
（2）射线l的参数方程为

x=tcosα

y=tsinα

（t为参数，(π)/(6)<α≤(π)/(4)）．
把射线l的参数方程代入曲线C₁的普通方程得：t²-4tcosα=0，
解得t₁=0，t₂=4cosα．
∴|OA|=|t₂|=4cosα．
把射线l的参数方程代入曲线C₂的普通方程得：cos²αt²=tsinα，
解得t₁=0，t₂=(sinα)/(cos2α)．
∴|OB|=|t₂|=(sinα)/(cos2α)．
∴|OA|•|OB|=4cosα•(sinα)/(cos2α)=4tanα=4k．
∵k∈（(√(3))/(3)，1]，∴4k∈（(4√(3))/(3)，4]．
∴|OA|•|OB|的取值范围是（(4√(3))/(3)，4]．