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在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为x=−2+22ty=−4+22t(t为参

题目详情
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=acosθ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为
x=−2+
2
2
t
y=−4+
2
2
t
 (t为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点.
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(Ⅱ)若|PA|•|PB|=|AB|2,求a的值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)曲线C的极坐标方程ρsin2θ=acosθ(a>0),
可化为ρ2sin2θ=aρcosθ(a>0),
即y2=ax(a>0);(2分)
直线l的参数方程为
x=−2+
2
2
t
y=−4+
2
2
t
 (t为参数),
消去参数t,化为普通方程是y=x-2;(4分)
(Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a>0)中,
t2−
2
(a+8)t+4(a+8)=0;
设A、B两点对应的参数分别为t1,t2
t1+t2=
2
(a+8),t1•t2=4(a+8);(6分)
∵|PA|•|PB|=|AB|2
(t1−t2)2=t1•t2,
(t1+t2)2=5t1•t2;(9分)
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作业帮用户 2016-11-17
问题解析
(Ⅰ)把曲线C的极坐标方程、直线l的参数方程化为普通方程即可;
(Ⅱ)把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中,得关于t的一元二次方程,由根与系数的关系,求出t1、t2的关系式,结合参数的几何意义,求出a的值.
名师点评
本题考点:
参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化.
考点点评:
本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,也考查了直线与圆锥曲线的应用问题,解题时应先把参数方程与极坐标化为普通方程,再解答问题,是中档题.
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