在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝2cosαy＝2+2sinα，（α为参数），M是C1上动点，P点满足OP=2OM，P点的轨迹为曲线C2（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中

Question

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x＝2cosα

y＝2+2sinα

，（α为参数），M是C₁上动点，P点满足

OP

=2

OM

，P点的轨迹为曲线C₂
（1）求C₂的方程；
（2）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=(π)/(3)与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求|AB|；
（3）若直线l：

x＝4−√(3)t

y＝−t

（t为参数）和曲线C₂交于E、F两点，且EF的中点为G，又点H（4，0），求|HG|．

Answer 1

（1）由曲线C₁的参数方程为

x＝2cosα

y＝2+2sinα

，化为曲线C₁的方程为x²+（y-2）²=4，
设P（x，y），∵P点满足

OP

=2

OM

，∴M((x)/(2)，(y)/(2))，代人x²+（y-2）²=4，
得x²+（y-4）²=16，即为曲线C₂方程．
（2）把

x＝ρcosθ

y＝ρsinθ

代入曲线C₁、C₂的直角坐标方程可得：
曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为ρ=4sinθ和ρ=8sinθ．
当θ＝(π)/(3)时，得ρA＝2√(3)，ρB＝4

作业帮用户 2016-12-06

问题解析

（1）由曲线C₁的参数方程为

x＝2cosα

y＝2+2sinα

，利用cos²α+sin²α=1化为曲线C₁的方程为x²+（y-2）²=4，
设P（x，y），P点满足

OP

=2

OM

，可得M((x)/(2)，(y)/(2))，代人上述方程即可得出曲线C₂方程．
（2）把

x＝ρcosθ

y＝ρsinθ

代入曲线C₁、C₂的直角坐标方程可得：曲线C₁、C₂的极坐标方程分别为ρ=4sinθ和ρ=8sinθ．
当θ＝(π)/(3)时，得ρA＝2√(3)，ρB＝4√(3)，即可得出|AB|．
（3）把直线方程代人曲线C₂方程得：t2−2(√(3)−1)t+4＝0，可得t1+t2＝2(√(3)−1)，设EF的中点G对应的参数为t₀，则t0＝√(3)−1且|HG|=|-2t₀|．即可得出．

名师点评

本题考点：

点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．

考点点评：

本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、向量的运算、弦长计算、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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