设函数f（x，y）在点P（x0，y0）的两个偏导数fx′和fy′都存在，则（）A．f（x，y）在点P必可微B．f（x，y）在点P必连续C．limx→x0f（x，y0）和limy→y0f（x0，y）都存在D．lim(x→x0)(y→y0)f（

Question

设函数f（x，y）在点P（x₀，y₀）的两个偏导数f_x′和f_y′都存在，则（　　）

A．f（x，y）在点P必可微
B．f（x，y）在点P必连续
C．

lim

x→x0

f（x，y₀）和

lim

y→y0

f（x₀，y）都存在
D．

lim

(x→x0)(y→y0)

f（x，y）存在

Answer 1

因为f_x′|(x0，y0)=

lim

x→x0

(f(x，y0)−f(x0，y0))/(x−x0)存在，所以

lim

x→x0

f(x，y0)存在；
因为f_y′|(x0，y0)=

lim

y→y0

(f(x0，y)−f(x0，y0))/(y−y0)存在，所以

lim

y→y0

f(x0，y)存在；
从而选项C正确．
选项A、B、D的反例：
取f（x，y）=

(xy)/(x2+y2)，  (x，y)≠(0，0)

0，   (x，y) ＝(0，0)

，
则在点（0，0）处，利用偏导数的定义可得，
f_x′=f_y′=0均存在．
但是

lim

y＝kx→0

f(x，y)=k，故

lim

(x，y)→(0，0)

f(x，y)不存在，选项D错误．
从而，f（x，y）在点（0，0）处不连续，也不可微．