微积分中有一道题目：（x-b）^2+y^2=a^2绕Y轴旋转得到旋转体,求该旋转体的转动惯量.转轴Y轴体密度p

Question

微积分中有一道题目：（x-b）^2 + y^2 = a^2 绕Y轴旋转得到旋转体,求该旋转体的转动惯量.转轴Y轴 体密度p

Answer 1

利用柱坐标系来求该转动惯量,则当|b|≤|a|时,该转动惯量=∫(0到2π)dθ∫(﹣√[a^2-(r-|b|)^2]到√[a^2-(r-|b|)^2])dy∫(0到|a|+|b|)r^2×prdr
=4πp∫(0到|a|+|b|)√[a^2-(r-|b|)^2]×r^3dr
令r=|b|+|a|sinu,则原式=4πp∫(﹣arcsin|b|/|a|到π/2)|a|cosu×(|b|+|a|sinu)^3d(|b|+|a|sinu)
=4πp∫(﹣arcsin|b|/|a|到π/2)a^2(cosu)^2×(|b|+|a|sinu)^3du
=…………
当|b|＞|a|时,该转动惯量=∫(0到2π)dθ∫(﹣√[a^2-(r-|b|)^2]到√[a^2-(r-|b|)^2])dy∫(|b|-|a|到|a|+|b|)r^2×prdr
=…………