微分中是近似替代那积分之后的值是准确的吗比如说定积分求旋转体体积的时候例如y=x∧2和x=1围成的图形面积绕x轴之后形成的体积我们在里面微分将一小段dx近似的认为是圆柱然后在

Question

微分中是近似替代 那积分之后的值是准确的吗
比如说 定积分求旋转体体积的时候 例如 y=x∧2 和 x=1围成的图形面积绕x轴之后形成的体积
我们在里面微分 将一小段dx近似的认为是圆柱 然后在积分求得其体积
但实际上无论dx会是多么的小 它和正真的圆柱还是存在误差 那么这样在积分出来 误差难道不会扩大吗 那算出来的会是实际正真的体积吗

Answer 1

不会有误差.这是因为,在定积分里面,你把 dx 理解为小线段的长度是不对的.定积分的定义本身包括三步：把定义域切割为有限份（通常是等分,但是不一定必须等分）,用求和给一个近似结果,取极限给出精确的结果.前两步是有误差的,但是第三步就把误差消除了.就这个定义本身来看,定积分和微分没有一丁点关系.
那么定积分里面的 dx 最终怎么和微分扯上关系了呢?那是因为定积分和不定积分之间有一个关系,即牛顿-莱布尼兹公式,或者微积分基本定理.所以,微分 dx 和定积分的关系绕了这么大的一个圈才扯上了关系,显然不能把它理解为小线段的长度（就算换成“无穷小线段”也有问题）,更不能因此置疑定积分的精确性.把 dx 解释为无穷小线段的长度在很多时候有助于理解,但是毕竟歪曲了原来的逻辑,所以在某些情形下就会导致类似于你的疑问.