设函数f（x）在x=0点的某个邻域内连续，且limx→0f(x)ex−1=2，则曲线y=f（x）在x=0处的法线方程为y=-x2y=-x2．

Question

设函数f（x）在x=0点的某个邻域内连续，且

lim

x→0

(f(x))/(ex−1)=2，则曲线y=f（x）在x=0处的法线方程为

y=-(x)/(2)

y=-(x)/(2)

．

Answer 1

因为：

lim

x→0

(f(x))/(ex−1)=2，且

lim

x→0

ex−1=0，
所以：f（0）=

lim

x→0

f(x)=0，
利用导数的定义可得：
f′（0）=

lim

x→0

(f(x)−f(0))/(x−0)=

lim

x→0

(f(x))/(x)=

lim

x→0

(f(x))/(ex−1)•(ex−1)/(x)=

lim

x→0

(f(x))/(ex−1)

lim

x→0

(ex−1)/(x)=2．
所以，y=f（x）在x=0的切线的斜率为2，
故：法线斜率为−(1)/(2)，
从而，曲线y=f（x）在x=0处的法线方程为：
y-f（0）=−(1)/(2)(x−0)，
即：y=−(1)/(2)x．
故答案为：y=−(1)/(2)x．