已知抛物线E：x2=2py（p＞0）的准线方程是y=-12．（1）求抛物线E的方程；（2）过点F（0，12）的直线l与抛物线E交于P，Q两点，设N（0，a）（a＜0），且NP•NQ≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Question

已知抛物线E：x²=2py（p＞0）的准线方程是y=-(1)/(2)．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过点F（0，(1)/(2)）的直线l与抛物线E交于P，Q两点，设N（0，a）（a＜0），且

NP

•

NQ

≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵抛物线的准线方程是y＝−(1)/(2)，∴−(p)/(2)＝−(1)/(2)，解得p=1，
抛物线E的方程是x²=2y．
（2）设直线l方程是y＝kx+(1)/(2)，与x²=2y联立，消去y得，
x²-2kx-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=2k，x₁x₂=-1，
∵

NP

•

NQ

≥0，∴x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）≥0，
又y1y2＝(x12x22)/(4)，y1+y2＝(x12+x22)/(2)＝((x1+x2)2−2x1x2)/(2)，
得2k2+1≥a−(3)/(4a)，对k∈R恒成立，
而2k²+1≥1，∴a−(3)/(4a)≤1(a＜0)，解得a≤−(1)/(2)．