已知函数f（x）=ex+ax-a（a∈R且a≠0）．（1）若f（0）=2，求实数a的值；并求此时f（x）的单调区间及最小值．（2）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x+ax-a（a∈R且a≠0）．
（1）若f（0）=2，求实数a的值；并求此时f（x）的单调区间及最小值．
（2）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f（0）=1-a=2得．∴a=-1．
f（x）=e^x-x+1，求导得f′（x）=e^x-1
易知f（x）在（-∞，0）上单调递减，
在（0，1]上f（x）单调递增；
当x=0时，f（x）的最小值为2     …（4分）
（2）f′（x）=e^x+a，由于e^x>0，
①当a>0时，f′（x）>0，f（x）是增函数，且当x>1时，f（x）=e^x+a（x-1）>0，
当x<0时，取x=-(1)/(a)，则f（-(1)/(a)）<1+a（-(1)/(a)-1）=-a<0，
所以函数f（x）存在零点，不满足题意．…（8分）
②当a<0时，f′（x）=e^x+a=0，x=ln（-a），
在（-∞，ln（-a））上，f′（x）<0，f（x）单调递减，
在（ln（-a），+∞）上，f′（x）>0，f（x）单调递增，
所以x=ln（-a）时，f（x）取最小值，
函数f（x）不存在零点，
等价于f（ln（-a））=e^ln（-a）+aln（-a）-a=-2a+aln（-a）>0，
解得：-e²<a<0，
综上所述：所求的实数a的取值范围是-e²<a<0．