（2013•徐州一模）如图，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．（1）若TA•TB＝1，求直线l的斜率；（2

Question

（2013•徐州一模）如图，已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x₁，y₁）（y₁＞0），B（x₂，y₂）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．
（1）若

TA

•

TB

＝1，求直线l的斜率；
（2）求∠ATF的最大值．

Answer 1

（1）由题意可得F（1，0），T（-1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，-2），此时，

TA

•

TB

＝0，
这与

TA

•

TB

＝1矛盾．
故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y-0=k（x-1），代入抛物线C：y²=4x的方程化简可得 k² x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=(2k2+4)/(k2)，且x₁•x₂=1…①．
∴(y1y2)2=16x₁•x₂=16，∴y₁y₂=-4…②．
由

TA

•

TB

＝1可得 （x₁+1）（x₂+1）+y₁•y₂=1．
把①②代入可得 k²=4，∴k=±2．
（2）∵y₁＞0，tan∠ATF=(y1−0)/(x1+1)=(y1)/((y12)/(4)+1)=(1)/((y1)/(4)+(1)/(y1))≤1，当且仅当(y1)/(4)=(1)/(y1)，即 y₁=2时，取等号，
故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为 (π)/(4)．