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已知动圆C与圆C1:(x+1)2+y2=1相外切,与圆C2:(x−1)2+y2=9相内切,设动圆圆心C的轨迹为T,且轨迹T与x轴右半轴的交点为A.(Ⅰ)求轨迹T的方程;(Ⅱ)已知直线l:y=kx+m与轨迹为T相交于M、N
题目详情
已知动圆C与圆C1:(x+1)2+y2=1相外切,与圆C2:(x−1)2+y2=9相内切,设动圆圆心C的轨迹为T,且轨迹T与x轴右半轴的交点为A.
(Ⅰ)求轨迹T的方程;
(Ⅱ)已知直线l:y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点(M、N不在x轴上).若以MN为直径的圆过点A,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
(Ⅰ)求轨迹T的方程;
(Ⅱ)已知直线l:y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点(M、N不在x轴上).若以MN为直径的圆过点A,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵动圆C与圆C1:(x+1)2+y2=1相外切,与圆C2:(x−1)2+y2=9相内切,
∴|CC1|=r+1,|CC2|=3-r,
∴|CC1|+|CC2|=4 …(2分)
∴点C的轨迹是以C1、C2为焦点(c=1),长轴长2a=4的椭圆 …(4分)]
∴点C的轨迹T的方程是
+
=1…(6分)
(Ⅱ)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+m代入椭圆方程得:(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
∴x1+x2=
,x1x2=
. (*式) …(8分)
∵MN为直径的圆过点A,A点的坐标为(2,0),
∴
•
=0,即(x1-2)(x2-2)+y1y2=0. …(10分)
∵y1=kx1+m,y2=kx2+m,y1y2=k2x1x2+(km−2)(x1+x2)+m2,
代入(*式)得:7m2+16km+4k2=0,
∴
=−
或
=−2都满足△>0,…(12分)
由于直线l:y=kx+m与x轴的交点为(−
,0),
当
=−2时,直线l恒过定点(2,0),不合题意舍去,
∴
=−
,直线l:y=k(x−
)
∴|CC1|=r+1,|CC2|=3-r,
∴|CC1|+|CC2|=4 …(2分)
∴点C的轨迹是以C1、C2为焦点(c=1),长轴长2a=4的椭圆 …(4分)]
∴点C的轨迹T的方程是
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),
将y=kx+m代入椭圆方程得:(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
∴x1+x2=
−8km |
4k2+3 |
4m2−12 |
4k2+3 |
∵MN为直径的圆过点A,A点的坐标为(2,0),
∴
AM |
AN |
∵y1=kx1+m,y2=kx2+m,y1y2=k2x1x2+(km−2)(x1+x2)+m2,
代入(*式)得:7m2+16km+4k2=0,
∴
m |
k |
2 |
7 |
m |
k |
由于直线l:y=kx+m与x轴的交点为(−
m |
k |
当
m |
k |
∴
m |
k |
2 |
7 |
2 |
7 |
作业帮用户
2017-10-26
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