已知动圆C与圆C1：(x+1)2+y2＝1相外切，与圆C2：(x−1)2+y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A．（Ⅰ）求轨迹T的方程；（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N

Question

已知动圆C与圆C1：(x+1)2+y2＝1相外切，与圆C2：(x−1)2+y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A．
（Ⅰ）求轨迹T的方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=kx+m与轨迹为T相交于M、N两点（M、N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）∵动圆C与圆C1：(x+1)2+y2＝1相外切，与圆C2：(x−1)2+y2＝9相内切，
∴|CC₁|=r+1，|CC₂|=3-r，
∴|CC₁|+|CC₂|=4         …（2分）
∴点C的轨迹是以C₁、C₂为焦点（c=1），长轴长2a=4的椭圆       …（4分）]
∴点C的轨迹T的方程是(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1…（6分）
（Ⅱ）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将y=kx+m代入椭圆方程得：（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x1+x2＝(−8km)/(4k2+3)，x1x2＝(4m2−12)/(4k2+3)． （*式）     …（8分）
∵MN为直径的圆过点A，A点的坐标为（2，0），
∴

AM

•

AN

＝0，即（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0．   …（10分）
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，y1y2＝k2x1x2+(km−2)(x1+x2)+m2，
代入（*式）得：7m²+16km+4k²=0，
∴(m)/(k)＝−(2)/(7)或(m)/(k)＝−2都满足△＞0，…（12分）
由于直线l：y=kx+m与x轴的交点为（−(m)/(k)，0），
当(m)/(k)＝−2时，直线l恒过定点（2，0），不合题意舍去，
∴(m)/(k)＝−(2)/(7)，直线l：y＝k(x−(2)/(7))

作业帮用户 2017-10-26