抛物线y2＝4x的准线与x轴交于M点,过M作直线与抛物线交于A、B,若AB的垂直平分线与x轴交于E(x0,0)已知抛物线y2＝4x的准线与x轴交于M点,过M作直线与抛物线交于A、B两点,若AB的垂直平分线与x轴交

Question

抛物线y2＝4x的准线与x轴交于M点,过M作直线与抛物线交于A、B,若AB的垂直平分线与x轴交于E(x0,0)
已知抛物线y2＝4x的准线与x轴交于M点,过M作直线与抛物线交于A、B两点,若AB的垂直平分线与x轴交于E(x0,0)．（1）求x0的取值范围；（2）ΔABE能否是等边三角形?若能,求x0的值；若不能,请说明理由

Answer 1

(1)由已知,M的坐标为（-1,0）,
设AB:x=ky-1代入y^2=4x得y^2-4ky+4=0
由判别式大于0得k^2>1.
设A(x1,y1),B(x2,y2)则
y1+y2=4k,x1+x2=4k^2-2,y1y2=4
AB的中点为(2k^2-1,2k)
AB的中垂线方程为y-2k=-k(x-2k^2+1)
x0=2k^2+1≥3
x0的取值范围是[3,+∞)
(2)由（1）得|AB|^2=(1+k^2)(16k^2-16)=16(k^4-1)
点E到AB的距离为(2k^2+2)/√(1+k^2)=2√(1+k^2),
所以(3/4)[ 16(k^4-1)]= 4(1+k^2),k^2=4/3
x0=11/3
所以 ΔABE能是等边三角形,此时x0=11/3