柱面的母线平行于直线X=Y=Z,准线是曲线{x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=1},求该柱面

Question

柱面的母线平行于直线X=Y=Z,准线是曲线{x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=1},求该柱面

Answer 1

设M（x1,y1,z1)是准线上一点,而准线是二平面x+y+z=0,x^2+y^2+z^2=1的交线,
故x1+y1+z1=0,(1)
x1^2+y1^2+z1^2=1,(2)
母线方向数为（1,1,1）,
经过M点的母线为：(x-x1)/1=(y-y1)/1=(z-z1)/1=t,
则参数方程为：
x1=x-t,
y1=y-t,
z1=z-t,
代入（1）和（2）式,
x-t+y-t+z-t=0,
t=(x+y+z)/3,(4)
(x-t)^2+(y-t)^2+(z-t)^2=1,(5)
由（4）代入（5）式,
（2x-y-z)^2/9+(2y-x-z)^2/9+(2z-x-y)^2/9=1,
∴柱面方程为：（2x-y-z)^2+(2y-x-z)^2+(2z-x-y)^2=9.