椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2．（Ⅰ）若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E的离心率；（Ⅱ）若椭圆E过点A（0，-2），直线AF1，AF2与椭圆的另一个交点

Question

椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a>b>0）的左右焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）若椭圆E过点A（0，-2），直线AF₁，AF₂与椭圆的另一个交点分别为点B，C，且△ABC的面积为(50c)/(9)，求椭圆E的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由长轴长、短轴长、焦距成等差数列，
则2b=a+c，则4b²=a²+2ac+c²，
由b²=a²-c²，则4（a²-c²）=a²+2ac+c²，
∴3a²-5c²-2ac=0，
  两边同除以a²，5e²+2e-3=0，
  由0(3)/(5)，
（2）由已知可得b=2，
  把直线AF₂：y=(2)/(c)x-2，代入椭圆方程(x2)/(a2)+(y2)/(4)=1，
整理得：（a²+c²）x²-2a²cx=0，
∴x=(2a2c)/(a2+c2)=((4+c2)c)/(c2+2)，
∴C（((4+c2)c)/(c2+2)，y），
 由椭圆的对称性及平面几何知识可知，△ABC的面积为S=(1)/(2)×2x×（y+2）=(2)/(c)x2=(2)/(c)[((4+c2)c)/(c2+2)]²，
∴(2)/(c)[((4+c2)c)/(c2+2)]²=(50c)/(9)，解得：c²=1，
a²=b²+c²=5，
故所求椭圆的方程为(x2)/(5)+(y2)/(4)=1．