（2014•黄山二模）如图，已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（1）求椭圆的方程；（2）若C，D分别为长轴的左

Question

（2014•黄山二模）如图，已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F₁AF₂B是边长为2 的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C，D分别为长轴的左右端点，O为坐标原点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，判断

OM

•

OP

是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形F₁AF₂B是边长为2 的正方形，∴a=2，b=c，
∵a²=b²+c²，∴b=c=√(2)．
∴椭圆的方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1．
（2）判断

OM

•

OP

是定值4．下面给出证明：
设M（2，m），P（s，t），C（-2，0）．
则直线CM的方程为：y＝(m)/(4)(x+2)，联立

y＝(m)/(4)(x+2)

(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1

，
化为（8+m²）x²+4m²x+4m²-32=0，
∵直线与椭圆有两个交点，∴△=16m⁴-4（8+m²）（4m²-32）＞0，化为1＞0．
∴-2×s=(4m2−32)/(8+m2)，解得s＝(16−2m2)/(8+m2)．
∴t＝(8m)/(8+m2)．∴M