P是椭圆上任意一点,F1、F2为焦点,求角F1PF2最大值

Question

P是椭圆上任意一点,F1、F2为焦点,求角F1PF2最大值

Answer 1

设：F1P=m,F2P=n,F1F2=2c,角F1PF2=w,则：
cosw=[m²＋n²－(2c)²]/[2mn]
=[(m＋n)²－2mn－4c²]/[2mn]
=[(2a)²－2mn－4c²]/[2mn]
=[4a²－2mn－4c²]/[2mn]
=[4b²－2mn]/[2mn]
=[2b²]/[mn]－2
要求出w的最大值,那只要确定cosw的最小值,也就是只要求出mn的最大值即可.
又：
m＋n≥2√(mn)
即：
mn≤[(m＋n)/2]²=a²
即当m=n=a时,mn取得最大值,此时cosw取得最小值,也就是说当点P在椭圆短轴端点时,w取得最大值.