若直线y=ax+1与曲线x^2+y^2+bx-y=1交于两点,且这两个交点关于直线x+y=0对称,则a+b=()

Question

若直线y=ax+1与曲线x^2+y^2+bx-y=1交于两点,且这两个交点关于直线x+y=0对称,则a+b=()

Answer 1

设两点为（x1.y1）,(x2,y2)
这两个交点关于直线x+y=0对称
那么x2=-y1 y2=-x1
y1=ax1+1=-x2 (1)
y2=ax2+1=-x1 (2)
(1)+(2)=(a+1)(x1+x2)+2=0
(1)-(2)=(a-1)(x1-x2)=0
x1=x2(不可能) 或a=1
那么x1+x2=-1
y=ax+1代入x^2+y^2+bx-y=1
得（1+a^2）x^2+(a+b)x-1=0
x1+x2=-(a+b)/(1+a^2)=-1
a+b=1+a^2=2