已知双曲线C：x2m−y2＝1(m＞0)，A．B两点分别在双曲线C的两条渐近线上，且|AB|＝2m，又点P为AB的中点．（1）求点P的轨迹方程并判断其形状；（2）若不同三点D（-2，0）、S、T均在点P的轨迹上

Question

已知双曲线C：(x2)/(m)−y2＝1(m＞0)，A．B两点分别在双曲线C的两条渐近线上，且|AB|＝2√(m)，又点P为AB的中点．
（1）求点P的轨迹方程并判断其形状；
（2）若不同三点D（-2，0）、S、T 均在点P的轨迹上，且

DS

•

ST

＝0； 求T点横坐标x_T的取值范围．

Answer 1

（1）双曲线渐近线为y＝(x)/(√(m))与y＝−(x)/(√(m))．
所以设A(xA，(xA)/(√(m)))，B(xB，−(xB)/(√(m)))，
所以xP＝(xA+xB)/(2)，yP＝(xA−xB)/(2√(m))，
又|AB|＝2√(m)，
所以点P的轨迹方程为(x2)/(m2)+y2＝1，
所以m=1时P的轨迹为圆；m＞1时P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆；0＜m＜1时P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆；（6分）
（2）把D（-2，0）代入(x2)/(m2)+y2＝1，得P的轨迹的(x2)/(4)+y2＝1…①
设直线DS为y=k（x+2）…②
联立①②得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
设点S（x₁，y₁），有xD+x1＝(−16k2)/(1+4k2)，
所以x1＝(2−8k2)/(1+4k2)，y1＝(4k)/(1+4k2)
则直线ST为y＝−(1)/(k)(x−x1)+y1
化简为：y＝−(x)/(k)+(2−4k2)/(k(1+4k2))③
联立①，③得(1+(4)/(k2))x2+(32k2−16)/(k2(1+4k2))x+(4(2−4k2)2)/(k2(1+4k2)2)−4＝0，
所以x1+xT＝(16−32k2)/((4+k2)(1+4k2))，
所以xT＝(16−32k2)/((4+k2)(1+4k2))−(2−8k2)/(1+4k2)＝(8k4−2k2+8)/(4k4+17k2+4)=2−(36k2)/(4k4+17k2+4)（ 因为三点不同，易知k≠0）
=2−(36k2)/(4k4+17k2+4)＝(36)/(4(k2+(1)/(k2))+17)≥2−(36)/(25)＝(14)/(25)
所以x_T的取值范围为[(14)/(25)，2)…（14分）