已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切．试证：EF中点P是△ABC之内心．

Question

已知⊙O内接△ABC，⊙Q切AB，AC于E，F且与⊙O内切．试证：EF中点P是△ABC之内心．

Answer 1

证明：如图，显然EF中点P、圆心Q，BC中点K都在∠BAC平分线上．
易知AQ=(r)/(sinα)．
∵QK•AQ=MQ•QN，
∴QK=(MQ•QN)/(AQ)
=((2R−r)•r)/(r/sinα)=sinα•（2R-r）．
由Rt△EPQ知PQ=sinα•r．
∴PK=PQ+QK=sinα•r+sinα•（2R-r）=sinα•2R．
∴PK=BK．α
利用内心等量关系之逆定理，
即知P是△ABC的内心．