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已知A^2+A+E=0,试证:A-E,A+2E均可逆并求其逆矩阵
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已知A^2+A+E=0,试证:A-E,A+2E均可逆并求其逆矩阵
▼优质解答
答案和解析
因为A^2+A+E=0
所以A^2+A-2E=-3E
所以(A-E)(A+2E)=-3E
两边取行列式
得|A-E|*|A+2E|=|-3E|=(-3)^n≠0（n为阶数）
所以|A-E|≠0且|A+2E|≠0
所以A-E,A+2E均可逆
又因为(A-E)(A+2E)=-3E
所以A-E的逆矩阵为(A+2E)/(-3),A+2E的逆矩阵为(A-E)/(-3)
所以A^2+A-2E=-3E
所以(A-E)(A+2E)=-3E
两边取行列式
得|A-E|*|A+2E|=|-3E|=(-3)^n≠0（n为阶数）
所以|A-E|≠0且|A+2E|≠0
所以A-E,A+2E均可逆
又因为(A-E)(A+2E)=-3E
所以A-E的逆矩阵为(A+2E)/(-3),A+2E的逆矩阵为(A-E)/(-3)
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