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设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时
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设圆C与两圆（x+ ） 2 +y 2 =4，（x﹣ ） 2 +y 2 =4中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程； （2）已知点M（  ， ），F（ ，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标． |
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答案和解析
设圆C与两圆（x+ ） 2 +y 2 =4，（x﹣ ） 2 +y 2 =4中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程； （2）已知点M（  ， ），F（ ，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标． |
（1）两圆的半径都为2，两圆心为F 1 （﹣ ，0）、F 2 （ ，0），由题意得：|CF 1 |+2=|CF 2 |﹣2或|CF 2 |+2=|CF 1 |﹣2， ∴||CF 2 |﹣|CF 1 ||=4=2a＜|F 1 F 2 |=2  =2c，可知圆心C的轨迹是以原点为中心，焦点在x轴上，且实轴为4，焦距为2  的双曲线，因此a=2，c=  ，则b 2 =c 2 ﹣a 2 =1，所以轨迹L的方程为 ﹣y 2 =1；（2）过点M，F的直线l的方程为y=  （x﹣ ），即y=﹣2（x﹣  ），代入 ﹣y 2 =1，解得：x 1 =  ，x 2 = ，故直线l与双曲线L的交点为T 1 （  ，﹣ ），T 2 （ ， ），因此T 1 在线段MF外，T 2 在线段MF内， 故||MT 1 |﹣|FT 1 ||=|MF|=  =2，|MT2|﹣|FT2||＜|MF|=2， 若点P不在MF上，则|MP|﹣|FP|＜|MF|=2， 综上所述，|MP|﹣|FP|只在点T 1 处取得最大值2， 此时点P的坐标为（  ，﹣ ）． |  |
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