已知半径分别为R,r（R＞r）的两圆外切,两条外公切线的夹角为θ.求证：sinθ＝[4(R-r)根号下（Rr)]/[(R+r)^2]

Question

已知半径分别为R,r（R＞r）的两圆外切,两条外公切线的夹角为θ.求证：
sinθ＝[4(R-r)根号下（Rr)]/[(R+r)^2]

Answer 1

过N作NP//OO1 交OM于点P,在Rt三角形NMP中
因为NP=OO1=R+r PM=R-r
所以MN=根号（NP)平方-（PM)平方
=根号 （R+r）平方-（R-r）平方
=2根号Rr
则 sin二分之一θ=PM/NP=R-r/R+r
cos二分之一θ=MN/NP=2根号Rr/R+r
所以 sinθ=2sin二分之一θ*cos二分之一θ=2*(R-r/R+r)*(2根号Rr/R+r）=4（R-r）根号Rr/(R+r）平方
大圆圆心是O 小圆圆心是O1 1是脚标
两条外公切线的焦点是θ
大圆半径是R 小圆半径是r