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设ABCD是一梯形,延长两腰AD,BC交与E.求证△ABE和△CDE的外接圆外切于E.
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设ABCD是一梯形,延长两腰AD,BC交与E.求证△ABE和△CDE的外接圆外切于E.
▼优质解答
答案和解析
证明：∵AB∥CD
∴∠B=∠ECD
过E作△EAB的外接圆的切线EG.则
∠B=∠GEA
∴∠ECD=∠GED
过E作△ECD的直径EM,连接DM.则
∠EDM=90°,∠ECD=∠EMD=∠GED
∴∠GED+∠MED=∠EMD+∠MED=90°
∴GE是△ECD的外接圆的切线.
故△ABE和△CDE的外接圆外切于E
∴∠B=∠ECD
过E作△EAB的外接圆的切线EG.则
∠B=∠GEA
∴∠ECD=∠GED
过E作△ECD的直径EM,连接DM.则
∠EDM=90°,∠ECD=∠EMD=∠GED
∴∠GED+∠MED=∠EMD+∠MED=90°
∴GE是△ECD的外接圆的切线.
故△ABE和△CDE的外接圆外切于E
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