设E是平面的有界闭集,d是E的直径,及d是E中任意两点距离的上确界,求证,在E中存在两点P1,P2使其距离为d.

Question

设E是平面的有界闭集,d是E的直径,及d是E中任意两点距离的上确界,求证,在E中存在两点P1,P2使其距离为d.

Answer 1

平面上两点x,y的距离记为D(x,y).
由d = sup{D(x,y) | x,y∈E},存在E中点列{x[n]}与{y[n]},使d-1/n < D(x[n],y[n]) ≤ d.
E是有界闭集,故点列{x[n]}存在收敛子列{x[n[k]]},收敛于某点a∈E.
设z[k] = x[n[k]],w[k] = y[n[k]].
则由n[k] ≥ k,d-1/k ≤ d-1/n[k] < D(x[n[k]],y[n[k]]) = D(z[k],w[k]) ≤ d.
再由E是有界闭集,点列{w[k]}存在收敛子列{w[k[i]]},收敛于某点b∈E.
设u[i] = z[k[i]],v[i] = w[k[i]].
则由k[i] ≥ i,d-1/i ≤ d-1/k[i] < D(z[k[i]],w[k[i]]) = D(u[i],v[i]) ≤ d.
在上式中令i → ∞,有D(u[i],v[i]) → d.
由u[i]是z[k]的子列,z[k]收敛到a,有D(u[i],a) → 0.
又v[i]收敛到b,有D(v[i],b) → 0.
而由三角不等式,D(a,b) ≥ D(u[i],v[i])-D(u[i],a)-D(v[i],b).
令i → ∞即得D(a,b) ≥ d.
但a,b∈E,由d = sup{D(x,y) | x,y∈E},得D(a,b) ≤ d.
故D(a,b) = d,a,b即为满足要求的点.