已知圆C：（x+4）2+y2=4，圆D的圆心在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点（点A在点B上方），点P(−23，0)．（Ⅰ）圆D的圆心在什么位置时，圆D与x轴相切；（Ⅱ）当圆心D在y轴的任意位置

Question

已知圆C：（x+4）²+y²=4，圆D的圆心在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A、B两点（点A在点B上方），点P(−2√(3)，0)．
（Ⅰ）圆D的圆心在什么位置时，圆D与x轴相切；
（Ⅱ）当圆心D在y轴的任意位置时，求直线AP与直线BP的倾斜角的差．

Answer 1

（Ⅰ）设D（0，a）∵圆D与x轴相切，∴圆D半径r=|a|．又∵圆D与圆C外切，∴√(42+a2)＝2+|a|
∴16+a²=4+4|a|+a²，∴|a|=3，即a=±3．∴当D在（0，3）或（0，-3）时，圆D与x轴相切．
（Ⅱ）证明：设圆D的方程为x²+（y-a）²=r²（r＞0），令x=0可得y=a±r．
又点A在点B上方），则点A（0，a+r），点 B（0，a-r），再由圆D与圆C外切，可得 √(16+a2)=2+r，
化简可得 a²=r²+4r-12．
设直线AP、BP的倾斜角分别为α，β，则tanα＝(a+r)/(2√(3))，tanβ＝(α−r)/(2√(3))．
∴tan(α−β)＝(tanα−tanβ)/(1+tanαtanβ)＝((a+r)/(2√(3))−(a−r)/(2√(3)))/(1+(a+r)/(2√(3))×(a−r)/(2√(3)))＝((r)/(√(3)))/((12+a2−r2)/(12))＝(r)/(√(3))×(12)/(4r)＝√(3)．
①当A、B两点同在y轴的正半轴（含原点）时，
有0＜α＜(π)/(2)，0≤β＜(π)/(2)，又点A在B的上方，∴α＞β，∴0＜α−β＜(π)/(2)，∴α−β＝(π)/(3)．
②当A、B两点同在y轴的负半轴时，
有(π)/(2)＜α＜π，(π)/(2)＜β＜π，α＞β，∴0＜α−β＜(π)/(2)，∴α−β＝(π)/(3)．
③当A、B两点分别在y轴的正、负半轴时，
有0＜α＜(π)/(2)，(π)/(2)＜β＜π，∴-π＜α-β＜0，∴α−β＝−(2π)/(3)．
综上，直线AP与直线BP的倾斜角的差为(π)/(3)或−(2π)/(3)．