在边长为a的正三角形A1B1C1内作互相外切且又与...在边长为a的正三角形A1B1C1内作互相外切且又与正三角形A1B1C1内切的等圆,连三个等圆圆心得三角形A2B2C2,在三角形A2B2C2内再做三个相互外切且有

Question

在边长为a的正三角形A1B1C1内作互相外切且又与...
在边长为a的正三角形A1B1C1内作互相外切且又与正三角形A1B1C1内切的等圆,连三个等圆圆心得三角形A2B2C2,在三角形A2B2C2内再做三个相互外切且有和三角形A2B2C2内切的等圆,连三个等圆圆心得到三角形A3B3C3,……如此无限做下去.
求1）所有这些圆的面积之和
2）所有这些三角形的面积之和

Answer 1

设内部第n个三角形边长：an
a0=a
易得：
an = (√3+1)a(n+1)
=>
an = (√3+1)^(-n)a = ((√3-1)/2)^n *a
三角形面积：Sn = √3/4*(an*an) = √3/4*((2-√3)/2)^n * aa
三角形面积和 = S0+S1+S2+……=√3/4 * aa * 1/(1-q)
(q = (2-√3)/2)
=aa/2
圆面积 Tn = 3*π*(an/2)^2 = 3/4*πaa * ((2-√3)/2)^n
圆面积和 =
T1+T2+T3+……
= 3/4*πaa * ((2-√3)/2) / (1-q)
= (2√3-3)πaa/4