已知：如图PT是⊙O的切线，T为切点，PAB是经过圆心O的割线．（1）求证：∠PTA=∠BTO；（2）若PT=4，PA=2，求sinB的值．

Question

已知：如图PT是⊙O的切线，T为切点，PAB是经过圆心O的割线．
（1）求证：∠PTA=∠BTO；
（2）若PT=4，PA=2，求sinB的值．

Answer 1

（1）证明：∵PT是⊙O的切线，
∴∠PTO=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠PTO-∠ATO=∠ATB-∠ATO，
∴∠PTA=∠BTO．

（2）过点T作TM⊥AB于点M，
∵OT=OB，
∴∠B=∠BTO，
∵由（1）知：∠PTA=∠BTO，
∴∠PTA=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△PTA ∽ △PBT，
∴ (PT)/(PA) = (PB)/(PT) ，
∵PT=4，PA=2，
∴PB=8，
∴AB=8-2=6，OT=3，
在△PTO中，由三角形面积公式得： (1)/(2) PT•OT= (1)/(2) PO•TM，
∴4×3=（2+3）•TM，
∴TM= (12)/(5) =2.4，
在Rt△TMO中，由勾股定理得：OM=

3 2 -2． 4 2

=1.8，
即BM=3+1.8=4.8，
在Rt△TMB中，由勾股定理得：BT=

2． 4 2 +4． 8 2

= (125)/(5) ，
∴sinB= (TM)/(BT) = (2.4)/((125)/(5)) = (5)/(5) ．