已知椭圆x^2/2+Y^2=1（1）过椭圆的左焦点F引椭圆的割线,求截得的弦的中点P的轨迹方程（2）求斜率为2的平行弦的中点Q的轨迹方程

Question

已知椭圆x^2/2+Y^2=1
（1）过椭圆的左焦点F引椭圆的割线,求截得的弦的中点P的轨迹方程
（2）求斜率为2的平行弦的中点Q的轨迹方程

Answer 1

F(-1,0)
设弦是AB
若AB斜率不存在,是x=-1
则P就是F(-1,0)
斜率存在则y=k(x+1)
代入x^2+2y^2=2
(1+2k^2)x^2+4k^2x+2k^2-2=0
x1+x2=-4k^2/(1+2k^2)
y=kx+k,
所以y1+y2=kx1+k+kx2+k=k(x1+x2)+2k=2k/(1+2k^2)
P坐标x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2
所以y/x=[2k/(1+2k^2)]/[-4k^2/(1+2k^2)]=-1/(2k)
y=k(x+1)
k=y/(x+1)
y/x=-1/[2y/(x+1)]=-(x+1)/(2y)
x(x+1)+2y^2=0
(-1,0)也符合
所以x(x+1)+2y^2=0
y=2x+b
代入x^2+2y^2=2
9x^2+8bx+2b^2-2=0
x1+x2=-8b/9,
y1+y2=2x1+b+2x2+b=2(x1+x2)+2b=2b/9
所以y/x=(2b/9)/(-8b/9)=-1/4
x+4y=0
有交点则9x^2+8bx+2b^2-2=0判别式大于等于0
64b^2-72b^2+72>=0
b^2