已知正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF．（1）如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF=∠AEB+45°；（2）如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC=45°，求证：AH+BH

Question

已知正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF．
（1）如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF=∠AEB+45°；
（2）如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC=45°，求证：AH+BH=BM；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE=1，求△BDM的面积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB+∠FBC=90°，
∵∠FBC+∠BFC=90°
∴∠AEB=∠BFC，
∵∠AGF=∠BFC+∠ACF，
∴∠AGF=∠AEB+45°；

（2） 过C作CK⊥BM于K，
∴∠BKC=90°，
∵∠BMC=45°，
∴CK=MK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABH=∠BCK，
在△ABH与△BCK中，

∠ABH=∠BCK

∠AHB=∠BKC=90°

AB=BC

，
∴△ABH≌△BCK，
∴BH=CK=MK，AH=BK，
∴BM=BK+MK=AH+BH；

（3） 由（2）得，BH=CK=BH，
∵H为BM的三等分点，
∴BH=HK=KM，
过E作EN⊥CK于N，
∴四边形HENK是矩形，
∴HK=EN=BH，∠BHE=∠NEC，
在△BHE与△ENC中，

∠HBE=∠NEC

BH=EN

∠BHE=∠ENC

，
∴△BHE≌△ENC，
∴HE=CN=NK=1，
∴CK=BH=2，
∴BM=6，
连接CH，
∵HK=MK，CK⊥MH，∠BMC=45°，
∴CH=CM，∠MCH=90°，
∴∠BCH=∠DCM，
在△BHC与△DMC中，

CH=CM

∠BCH=∠DCM

BC=CD

，
∴△BHC≌△DMC，
∴BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°
∴∠DMB=90°，
∴△BDM的面积=6．