棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AA1,C1D1中点,过DMN三点的平面与直线A1B1交于点P则线段PB1的长为解析为：首先确定点P的位置.延长DM,D1A1相交E.连接EN,交A1B1于P.由于:E,N均既在平面DMN上,又

Question

棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AA1,C1D1中点,过DMN三点的平面与直线A1B1交于点P则线段PB1的长为
解析为：首先确定点P的位置.延长DM ,D1A1 相交E.连接EN,交A1B1于P.
由于:E,N 均既在平面DMN上,又在平面A1B1C1D1上.
故EN 为这两个平面的交线.而EN与A1B1的交点P即为直线A1B1与平面DMN的交点.
下面求PB1之长.
在三角形DD1E中,A1M// D1D,且A1M = (1/2)D1D,
即可知:D1A1 = A1E,即MA1为中位线.
由此,进而知:在三角形D1EN中,知A1P为中位线.从而A1P = (1/2)D1N = (1/4)a.
从而:PB1 = A1B1 - A1P = (3/4)a.
不懂的地方：延长DM为什么就能确定点P的位置,是想将DMN平面转换到与A1B1所在平面吗?

Answer 1

立体几何证明思路之一：化空间为平面,所以P点即在面DMN内,又在下底面内,就一定在两面的交线上,确定交线的方法就是找2公共点E,N,那么在底面内EN与A1B1交点就是P.
在三角形EDD1内找到比例关系,转化到三角形ED1N内,可求出P的位置