如图，△ABC的内切圆I在边AB，BC，CA上的切点分别是D，E，F，直线EF与直线AI，BI，DI分别相交于点M，N，K．证明：DM•KE=DN•KF．

Question

如图，△ABC的内切圆I在边AB，BC，CA上的切点分别是D，E，F，直线EF与直线AI，BI，DI分别相交于点M，N，K．
证明：DM•KE=DN•KF．

Answer 1

证明：连接IE，如图所示：
∵△ABC的内切圆I在边AB，BC，CA上的切点分别是D，E，F，
∴ID⊥AB，IE⊥BC，
∴∠IDB=∠IEB=90°，
∴∠IDB+∠IEB=180°，
∴I，D，B，E四点共圆．
又∵∠AID=90°-∠IAD，∠MED=∠FDA=90°-∠IAD，
∴∠AID=∠MED，
∴I，D，E，M四点共圆．
∴I，D，B，E，M五点共圆，∠IMB=∠IEB=90°，
即AM⊥BM．
同理，I，D，A，N，F五点共圆，且BN⊥AN．
设直线AN，BM交于点G，则点I为△GAB的垂心．又ID⊥AB，
∴G，I，D共线．
∵G，N，D，B四点共圆，
∴∠ADN=∠G．
同理∠BDM=∠G．
∴DK平分∠MDN，
∴(DM)/(DN)=(KM)/(KN)①．                           
又由I，D，E，M；I，D，N，F分别共圆，
∴KM•KE=KI•KD=KF•KN，
∴(KM)/(KN)=(KF)/(KE)②．                           
由①，②得：(DM)/(DN)=(KF)/(KE)，
∴DM•KE=DN•KF．