过点Q（-2,√21）作圆C：x^2+y^2=r^2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.(1)求r的值;(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设OM向量=OA向量+OB向量,求|OM向量|的

Question

过点Q（-2,√21）作圆C：x^2+y^2=r^2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.
(1)求r的值;(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设OM向量=OA向量+OB向量,求|OM向量|的最小值（O为坐标原点）.

Answer 1

第一问：
O为圆C的圆心,连接OQ,△OQD为直角三角形；
OQ=√[2^2+(√21)^2]=5
r=OD=√[OQ^2-QD^2]=3
第二问：
设∠POA=θ,P的坐标为(3*cosθ,3*sinθ)
直线l为：y-3sinθ=-ctanθ(x-3cosθ)
OA=3/cosθ,OB=3/sinθ ; 向量OA=3/cosθ,向量OB=i*3/sinθ
|OM|=|OA+OB|=|3/cosθ+i*3/sinθ|
=√[(3/cosθ)^2+(3/sinθ)^2] ;如果不用复数 i的表示方法,可以直接用向量的三角形法则,两相互垂直的向量和的长度 恰为他们的斜边长度
=√[(3/cosθ)^2+(3/sinθ)^2]
=2√3/sin(2θ)
>=2√3 ;当θ=45°
故最小值为2√3