如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；（2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．

Question

如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．

（1）求证：PT²=PA•PB；
（2）若PT=TB=√(3)，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OT．

∵PT是⊙O的切线，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°，
∴∠PTA+∠OTA=90°，
∵AB是直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠TAB+∠B=90°，
∵OT=OA，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT，
∴(PT)/(PB)=(PA)/(PT)，
∴PT²=PA•PB．

（2）∵TP=TB=√(3)，
∴∠P=∠B=∠PTA，
∵∠TAB=∠P+∠PTA，
∴∠TAB=2∠B，
∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°，
∴tanB=(AT)/(TB)=(√(3))/(3)，
∴AT=1，
∵OA=OT，∠TAO=60°，
∴△AOT是等边三角形，
∴S_阴=S_扇形OAT-S_△AOT=(60π•12)/(360)-(√(3))/(4)•1²=(π)/(6)-(√(3))/(4)．