如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上．（1）若∠D=∠C=30°，求证：BD是⊙O的切线．（2）点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，分别过B、F两点作DC的垂线，垂足分别为M、N，且CN

Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上．
（1）若∠D=∠C=30°，求证：BD是⊙O的切线．
（2）点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，分别过B、F两点作DC的垂线，垂足分别为M、N，且CN：CM=2：3．若△ABC的面积为12cm²，cos∠EFC=(2)/(3)，求△BFE的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠C=30°，
而∠DBC=180°-∠D-∠C=180°-30°-30°=120°，
∴∠OBD=120°-∠OBC=120°-30°=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；

（2）∵BM⊥AC，FN⊥AC，
∴S_△FAC：S_△BAC=FN：BM，FN∥BM，
∴△CFN∽△CBN，
∴FN：BM=CN：CM，
而CN：CM=2：3，△ABC的面积为12cm²，
∴S_△FAC：12=FN：BM=2：3，
∴S_△FAC=8，
∵∠E=∠C，∠FBE=∠CAF，
∴△FBE∽△FAC，
∴(S△FBE)/(S△FAC)=（(FB)/(FA)）²，
又∵cos∠EFC=(2)/(3)，
∴cos∠BFA=(2)/(3)，
而AC为⊙O的直径，
∴∠ABF=90°，
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，cos∠BFA=(FB)/(FA)=(2)/(3)，
∴(S△FBE)/(S△FAC)=（(FB)/(FA)）²，=（(2)/(3)）²，
∴S_△BFE=(4)/(9)×8=(32)/(9)．