如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．（1）求证：PC＝PG；（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中

Question

如图，已知AB是圆O的直径，BC是圆O的弦，弦ED⊥AB于点F,交BC于点G，过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P．

（1）求证：PC＝PG；
（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；
（3）在满足（2）的条件下，已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为 时，求弦ED的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OC，

∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC。∴∠OCG+∠PCG=90°。
∵ED⊥AB，∴∠B+∠BGF=90°。
∵OB=OC，∴∠B=∠OCG。∴∠PCG=∠BGF。
又∵∠BGF=∠PGC，∴∠PGC=∠PCG。
∴PC=PG。
（2）CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG ² =BO•BF。理由如下：
如图，连接OG，
∵点G是BC的中点，∴OG⊥BC，BG=CG。∴∠OGB=90°。
∵∠OBG=∠GBF，∴Rt△BOG∽Rt△BGF。∴BG：BF=BO：BG。
∴BG ² =BO•BF。∴CG ² =BO•BF。
（3）如图，连接OE，
由（2）得BG⊥BC，∴OG= 。
在Rt△OBG中，OB=5，∴ 。
由（2）得BG ² =BO•BF，∴ 。∴OF=1。
在Rt△OEF中， 。
∵AB⊥ED，∴EF=DF。
∴DE=2EF= 。