如图，半径为6.5的⊙O′经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x2+kx+60=0的两根．（1）求A、B两点的距离以及点A和点B的坐标；（2）已知点C在劣弧OA

Question

如图，半径为6.5的⊙O′经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）求A、B两点的距离以及点A和点B的坐标；
（2）已知点C在劣弧OA上，连接BC交OA于D，当OC²=CD•BC时，求点C的坐标；
（3）若在以点C为顶点，且过点B的抛物线上和在⊙O′上是否分别存在点P，使△ABD的面积等于△POD的面积，即S_△ABD=S_△POD？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）连接AB，

∵∠BOA=90°，
∴AB为直径，由根与系数关系得OA+OB=-k，OA•OB=60，
根据勾股定理，得OA²+OB²=169，
即（OA+OB）²-2OA•OB=169，
解得k²=289，
故k=±17（正值舍去）．
则有方程x²-17x+60=0，
解得：x=12或5．
又∵OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．

（2）若OC²=CD•CB，则△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
∴点C是弧OA的中点．
连接O′C交OA于点E，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA，

根据垂径定理，得OE=6，根据勾股定理，得O′E=2.5，
故CE=4，即点C坐标为（6，-4）．

（3）假定在⊙上存在点P，使S_△ABD=S_△POD，

∵OB∥EC，
∴△OBD∽△ECD，
∴(OB)/(EC)=(OD)/(ED)，即(5)/(4)=(OD)/(6−OD)，
解得OD=(10)/(3)，
∴S_△ABD=(1)/(2)AD•BO=(65)/(3)，
∴S_△POD=(65)/(3)，
故可得在△POD中，OD边上的高为13，即点P到x轴的距离为13，
∵⊙上的点到x轴的最大距离为9，
∴点P不在⊙上，
故在⊙上不存在点P，使S_△ABD=S_△POD．