角α的顶点与直角坐标系原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,且α∈(0,π)角α的顶点与直角坐标系原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,且α∈（0,π

Question

角α的顶点与直角坐标系原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,且α∈(0,π)
角α的顶点与直角坐标系原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,且α∈（0,π）.设点M坐标为（1/2,√3/2）,求使得函数f(x)=向量OM乘向量MP-R恰有两个零点的实数R的取值范围是.答案为小于0且大于等于-1/2

Answer 1

估计f(x)应为f(α)

M(1/2, √3/2), P(cosα, sinα)

向量OM = (1/2, √3/2)

向量MP = (cosα - 1/2, sinα - √3/2)

二者的点乘为 (1/2)(cosα - 1/2) + (√3/2)(sinα - √3/2))

= (1/2)cosα - 1/4 + (√3/2)sinα - 3/4

= sinαcos(π/6) + cosαsin(π/6) - 1

= sin(α + π/6) - 1

令g(α) = sin(α + π/6) - 1

α = π/6时, g(α) = sin(π/2) - 1 = 0, 此为最大值

α = 0或α = π/6时, g(α) = sin(α + π/6) - 1 = sin(π/6) - 1 = sin(5π/6) - 1) = 1/2 - 1 = -1/2  (其实g(0)不在g(α)的图像上

0 < α < π/6或π/6 < α < 2π/3时, -1/2 < g(α) < 0

2π/3 < α < π时, sin(α + π/6) - 1 < -1/2

当-1/2 < R < 0时, y = R与g(α)的图象有两个交点(分别在(0, π/6)或(π/6, 2π/3)内), , 即f(α) = 0恰有两个零点

α∈(0,π), R不可能等于-1/2, 另参见图.