如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点P在劣弧BC上，在CP的延长线上取PQ=PB．（Ⅰ）求证：CQ=AP；（Ⅱ）当点P是劣弧BC的中点时，求S△ABC与S△BPQ的比值．

Question

如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点P在劣弧

BC

上，在CP的延长线上取PQ=PB．
（Ⅰ）求证：CQ=AP；
（Ⅱ）当点P是劣弧

BC

的中点时，求S_△ABC与S_△BPQ的比值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵A，B，C，P共圆，△ABC为等边三角形，
∴∠QPB=∠BAC=60°，AB=BC…（1分）
∵PQ=PB，∴△QPB为等边三角形，
∴∠Q=∠BPA=∠BCA=60°…（2分）
∴△ABP≌△CBQ…（3分）
∴CQ=AP；…（4分）
（Ⅱ）设AB=1，
∵点P是劣弧

BC

的中点，AB=AC，
∴∠ABP=90°，∠APB=60°，…（6分）
∴BP＝(√(3))/(3)，…（8分）
∴S_△ABC：S_△BPQ=AB²：BP²=3…（10分）