如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．（1）当x=0时，折痕EF的长为；当点

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．

（1）当x=0时，折痕EF的长为___；
当点E与点A重合时，折痕EF的长为___；
（2）试探索使四边形EPFD为菱形时x的取值范围，并求当x=4时，菱形EPFD的边长．
提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助！

Answer 1

（1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，
当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=6；
当点E与点A重合时，如图1所示：
∵点D与点P重合是已知条件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，
即：ED=DF=2，
根据勾股定理得：EF=√(22+22)=2√(2)，
∴折痕EF的长为2√(2)；
故答案为：6，2√(2)；
（2）∵要使四边形EPFD为菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
只有点E与点A重合时，EF最长为2√(2)，此时x=2，
当EF最短时，即EF=BC，此时x=6，
∴x的取值范围为：2≤x≤6，
当x=4时，如图2所示，
连接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，
设PE=m，则AE=4-m
∵在△ADE中，∠DAE=90°，
∴AD²+AE²=DE²，
即2²+（4-m）²=m²
解得m=(5)/(2)．
此时菱形EPFD的边长为(5)/(2)．