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如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m的线段其端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,设点M满足AM=λMB(λ是大于0的常数).(Ⅰ)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;(Ⅱ)若λ=2,
题目详情
如图,在平面直角坐标系中,一条定长为m的线段其端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,设点M满足| AM |
| MB |
(Ⅰ)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线;
(Ⅱ)若λ=2,已知直线l与原点O的距离为
| m |
| 2 |
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设点M坐标为(x,y),点A坐标为(a,0),点B坐标为(0,b)
则,
=(x-a,y),
=(-x,b-y),
∵
=λ
,∴(x-a,y)=λ(-x,b-y),
∴x-a=-λx,y=λ(b-y)
∴a=λx+x,b=
∵线段AB长为m,∴a2+b2=m2
∴(λx+x)2+(
)2=m2
化简,得,(λ+1)2x2+(1+
)2y2=m2
当λ=1时,点M的轨迹是圆心在坐标原点,半径为
的圆,
当λ≠1时,点M的轨迹是椭圆.
(Ⅱ)当λ=2时,点M的方程可化为x2+
=
当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=kx+b,
∵线l与原点O的距离为
,∴
则,
| AM |
| MB |
∵
| AM |
| MB |
∴x-a=-λx,y=λ(b-y)
∴a=λx+x,b=
| λy+y |
| λ |
∵线段AB长为m,∴a2+b2=m2
∴(λx+x)2+(
| λy+y |
| λ |
化简,得,(λ+1)2x2+(1+
| 1 |
| λ |
当λ=1时,点M的轨迹是圆心在坐标原点,半径为
| ||
| 2 |
当λ≠1时,点M的轨迹是椭圆.
(Ⅱ)当λ=2时,点M的方程可化为x2+
| y2 |
| 4 |
| m2 |
| 9 |
当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=kx+b,
∵线l与原点O的距离为
| m |
| 2 |
| |b| | |||||||
|
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