将一根定长L为的铁丝剪成两段,一段弯成圆形,另一段弯成正方形,问：怎样剪法,可使圆形与正方形的面积和为最小

Question

将一根定长L为的铁丝剪成两段,一段弯成圆形,另一段弯成正方形,
问：怎样剪法,可使圆形与正方形的面积和为最小

Answer 1

S方=[(L-a)/4]*[(L-a)/4]=L^2/16+a^2/16-La/8
S圆=(a/(2π))*(a/(2π))*π
=a^2/(4π)
S=L^2/16+a^2(π+4)/(16π)-La/8
=-[(π+4)/(16π)](a-Lπ/(π+4))^2+L^2/16-L^2π/(16π+64)
a=Lπ/(π+4)作圆时,面积最小