已知坐标平面上动点M（x，y）与两个定点P（26，1），Q（2，1），且|MP|=5|MQ|．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为C，过点N（-2，3）的直线l被C所截得的线段

Question

已知坐标平面上动点M（x，y）与两个定点P（26，1），Q（2，1），且|MP|=5|MQ|．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中轨迹为C，过点N（-2，3）的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．

Answer 1

（1）由题意，得(|MP|)/(|MQ|)=5．即：(√((x-26)2+(y-1)2))/(√((x-2)2+(y-1)2))=5，
化简，得：x²+y²-2x-2y-23=0，
即（x-1）²+（y-1）²=25；
所以点M的轨迹方程是（x-1）²+（y-1）²=25．
轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2；
此时所截得的线段的长为2√(52-32)=8，
所以l：x=-2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y-3=k（x+2），
即kx-y+2k+3=0，圆心到l的距离d=(|3k+2|)/(√(k2+1))，
由题意，得（(|3k+2|)/(√(k2+1))）²+4²=5²，解得k=(5)/(12)．
所以直线l的方程为(5)/(12)x-y+(23)/(6)=0，
即5x-12y+46=0，
综上，直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0．