已知曲线通过(1,2),且曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可围成一个等腰三角形(以x轴为底),求该曲线的方程.微分方程求

Question

已知曲线通过(1,2),且曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及x轴可围成一个等腰三角形(以x轴为底),
求该曲线的方程.微分方程求

Answer 1

设曲线y=f(x)
设其上任一点P(x0,y0)
则P点处曲线的斜率为 y'=f'(x0)
切线方程为 y-y0=y'*(x-x0)=f'(x0)*(x-x0)
设切线与x轴相交于Q点
由于△OPQ为等腰三角形,且OQ为底
∴有 OP=PQ,即P点横坐标与OQ中点坐标相等
∴易求得Q点坐标为Q(2x0,0)
带入切线方程可得 0-y0=f'(x0)*(2x0-x0)
即有 -y0=f'(x0)*x0=y'*x0
因P点是任意的,即曲线上的所有点均满足上述等式
故有 -y=y'*x=x*dy/dx
即有 dy/y=-dx/x
两边积分,可得
lny=-lnx+C=ln(C/x)
∴y=C/x
已知曲线过点(1,2)
∴ 2=C/1 => C=2
∴曲线方程为 y=2/x