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已知y1=a1(x-m)2+5,点(m,25)在抛物线y2=a2x2+b2x+c2上,其中m>0.(1)若a1=-1,点(1,4)在抛物线y1=a1(x-m)2+5上,求m的值;(2)记O为坐标原点,抛物线y2=a2x2+b2x+c2的顶点为M,若c2=0,点A
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已知y1=a1(x-m)2+5,点(m,25)在抛物线y2=a2x2+b2x+c2上,其中m>0.
(1)若a1=-1,点(1,4)在抛物线y1=a1(x-m)2+5上,求m的值;
(2)记O为坐标原点,抛物线y2=a2x2+b2x+c2的顶点为M,若c2=0,点A(2,0)在此抛物线上,∠OMA=90°,求点M的坐标;
(3)若y1+y2=x2+16x+13,且4a2c2-b22=-8a2,求抛物线y2=a2x2+b2x+c2的解析式.
(1)若a1=-1,点(1,4)在抛物线y1=a1(x-m)2+5上,求m的值;
(2)记O为坐标原点,抛物线y2=a2x2+b2x+c2的顶点为M,若c2=0,点A(2,0)在此抛物线上,∠OMA=90°,求点M的坐标;
(3)若y1+y2=x2+16x+13,且4a2c2-b22=-8a2,求抛物线y2=a2x2+b2x+c2的解析式.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵a1=-1,∴y1=-(x-m)2+5.
将(1,4)代入y1=-(x-m)2+5,得
4=-(1-m)2+5.
m=0或m=2.
∵m>0,
∴m=2.
(2)∵c2=0,
∴抛物线y2=a2 x2+b2 x.
将(2,0)代入y2=a2 x2+b2 x,得4a2+2b2=0.即b2=-2a2.
∴抛物线的对称轴是x=1.
设对称轴与x轴交于点N,根据抛物线的对称性得,△OAM是等腰三角形,
∴NA=NO=1.
∵∠OMA=90°,
∴MN=OA=1.
∴当a2>0时,M(1,-1);
当a2<0时,M(1,1).
∵25>1,
∴M(1,-1),
(3)方法一:∵点(m,25)在抛物线y2=a2 x2+b2x+c2上,
∴a2 m 2+b2 m+c2=25①
∵y1+y2=(a1+a2)x2+(b2-2a1m)x+5+a1m2+c2=x2+16x+13,
∴a1+a2=1②,
b2-2a1m=16③
a1m2+c2=8④
由③得,b2m=16m+2a1m2⑤,
由④得,c2=8a1m2⑥
将⑤⑥代入方程①得,a2 m 2+16m+2 m 2 a1+8-m 2 a1=25.
整理得,m 2+16m-17=0.
解得m1=1,m2=-17.
∵m>0,
∴m=1.
将m=1代入③得,b2=16+2a1=12+2(1-a2)=18-2a2,
将m=1代入④得,c2=8-a1=8-(1-a2)=7+a2.
∵4a2 c2-b22=-8a2,
∴4a2(7+a2)-(18-2a2)2=-8a2.
∴a2=3.
∴b2=18-2×3=12,c2=7+3=10.
∴抛物线y2=a2x2+b2x+c2的解析式为y=3x2+12+10.
方法二,由题意知,当x=m时,y1=5;当x=m时,y2=25;
∴当x=m时,y1+y2=5+25=30.
∵y1+y2=x2+16 x+13,
∴30=m2+16m+13.
解得m1=1,m2=-17.
∵m>0,
∴m=1.
∵4a2 c2-b22=-8a2,
∴
=
=-2
∴y2 顶点的纵坐标为-2.
设抛物线y2的解析式为y2=a2 (x-h)2-2.
∴y1+y2=a1 (x-1)2+5+a2 (x-h)2-2.
∵y1+y2=(a1+a2)x2-2(a1+a2h)x+a1+a2h2+3=x2+16 x+13,
∴a1+a2=1①,-2(a1+a2h)=16②,a1+a2h2+3=13③,
将①代入②③化简得,a2h-a2=-9④,a2h2-a2=9⑤,
联立④⑤,解得h=-2,a2=3.
∴抛物线的解析式为y2=3(x+2)2-2=3x2+12+10.
方法三、由题意知,当x=m时,y1=5;当x=m时,y2=25,
∴当x=m时,y1+y2=5+25=30.
∵y1+y2=x2+16x+13,
∴30=m2+16m+13,
∴m=1或m=-17,
∵m>0,
∴m=1,
∴y1=a1 (x-1)+5.
∵y1+y2=x2+16x+13,
∴y2=x2+16 x+13-y1
=x2+16x+13-a1 (x-1)2-5.
即y2=(1-a1)x2+(16+2a1)x+8-a1.
∵4a2c2-b22=-8a2,
∴
=
=-2
∴y2 顶点的纵坐标为-2.
∴
=-2
∴a1=-2.
∴y2=3x2+10x+10.
将(1,4)代入y1=-(x-m)2+5,得
4=-(1-m)2+5.
m=0或m=2.
∵m>0,
∴m=2.
(2)∵c2=0,
∴抛物线y2=a2 x2+b2 x.
将(2,0)代入y2=a2 x2+b2 x,得4a2+2b2=0.即b2=-2a2.
∴抛物线的对称轴是x=1.
设对称轴与x轴交于点N,根据抛物线的对称性得,△OAM是等腰三角形,
∴NA=NO=1.
∵∠OMA=90°,
∴MN=OA=1.
∴当a2>0时,M(1,-1);
当a2<0时,M(1,1).
∵25>1,
∴M(1,-1),
(3)方法一:∵点(m,25)在抛物线y2=a2 x2+b2x+c2上,
∴a2 m 2+b2 m+c2=25①
∵y1+y2=(a1+a2)x2+(b2-2a1m)x+5+a1m2+c2=x2+16x+13,
∴a1+a2=1②,
b2-2a1m=16③
a1m2+c2=8④
由③得,b2m=16m+2a1m2⑤,
由④得,c2=8a1m2⑥
将⑤⑥代入方程①得,a2 m 2+16m+2 m 2 a1+8-m 2 a1=25.
整理得,m 2+16m-17=0.
解得m1=1,m2=-17.
∵m>0,
∴m=1.
将m=1代入③得,b2=16+2a1=12+2(1-a2)=18-2a2,
将m=1代入④得,c2=8-a1=8-(1-a2)=7+a2.
∵4a2 c2-b22=-8a2,
∴4a2(7+a2)-(18-2a2)2=-8a2.
∴a2=3.
∴b2=18-2×3=12,c2=7+3=10.
∴抛物线y2=a2x2+b2x+c2的解析式为y=3x2+12+10.
方法二,由题意知,当x=m时,y1=5;当x=m时,y2=25;
∴当x=m时,y1+y2=5+25=30.
∵y1+y2=x2+16 x+13,
∴30=m2+16m+13.
解得m1=1,m2=-17.
∵m>0,
∴m=1.
∵4a2 c2-b22=-8a2,
∴
4a2c2-b22 |
4a2 |
-8a2 |
4a2 |
∴y2 顶点的纵坐标为-2.
设抛物线y2的解析式为y2=a2 (x-h)2-2.
∴y1+y2=a1 (x-1)2+5+a2 (x-h)2-2.
∵y1+y2=(a1+a2)x2-2(a1+a2h)x+a1+a2h2+3=x2+16 x+13,
∴a1+a2=1①,-2(a1+a2h)=16②,a1+a2h2+3=13③,
将①代入②③化简得,a2h-a2=-9④,a2h2-a2=9⑤,
联立④⑤,解得h=-2,a2=3.
∴抛物线的解析式为y2=3(x+2)2-2=3x2+12+10.
方法三、由题意知,当x=m时,y1=5;当x=m时,y2=25,
∴当x=m时,y1+y2=5+25=30.
∵y1+y2=x2+16x+13,
∴30=m2+16m+13,
∴m=1或m=-17,
∵m>0,
∴m=1,
∴y1=a1 (x-1)+5.
∵y1+y2=x2+16x+13,
∴y2=x2+16 x+13-y1
=x2+16x+13-a1 (x-1)2-5.
即y2=(1-a1)x2+(16+2a1)x+8-a1.
∵4a2c2-b22=-8a2,
∴
4a2c2-b22 |
4a2 |
-8a2 |
4a2 |
∴y2 顶点的纵坐标为-2.
∴
4(1-a1)(8-a1)-(16+2a1)2 |
4(1-a1) |
∴a1=-2.
∴y2=3x2+10x+10.
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