（2014•武汉）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=12x2交于A，B两点．（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；（2）当k=-12时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；

Question

（2014•武汉）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=(1)/(2)x²交于A，B两点．

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=-(1)/(2)时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．

Answer 1

（1）∵当x=-2时，y=（-2）k+2k+4=4．
∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（-2，4）．
∴点C的坐标为（-2，4）．

（2）∵k=-(1)/(2)，
∴直线的解析式为y=-(1)/(2)x+3．
联立

y＝−(1)/(2)x+3

y＝(1)/(2)x2

，
解得：

x＝−3

y＝(9)/(2)

或

x＝2

y＝2

．
∴点A的坐标为（-3，(9)/(2)），点B的坐标为（2，2）．
过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，
过点A作AM⊥PQ，垂足为M，
过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．

设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．
∴y_P=(1)/(2)a²，y_Q=-(1)/(2)a+3．
∵点P在直线AB下方，
∴PQ=y_Q